Casos de Factorizacion: 2009

miércoles, 4 de noviembre de 2009

Caso 10. Suma o Diferencia de Dos potencias iguales

Suma.

Ejemplo:

Taller

01)		1 + x³

02)		x³ + 1000

03)		27a³ + 125b³

04)		64x³y⁶ + 216z⁹

05)		512x^6a+ 729y^3b

caso 9. Diferencia de Cubos Perfectos

Para esto debemos recordar que:

$\begin{displaymath}\frac{a^3+b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2\end{displaymath}$

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Caso 8. Cubo PerFecto de Binomios

De los productos notables tenemos:

En este caso la factorización es realizar la operación inversa a esta:

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.

El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).

Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b).

Ejemplo explicativo:

Taller

2x²+3x-2
3x²-5x-2
6x²+7x+2
5x²+13x-6
6x²-6-5x
12x²-x-5x
4a²+15a+9
3+11a+10a²
12m²-13m-35
20y²+y-1

caso 7. Trinomio de la Forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Taller

x²+ 2ax-15a²
5+4x-x²
x²y²+xy-12
(5x)²+13(5x)+42
a²-4ab-21b²
m²+mn-56n²
(2x)²-4(2x)+3
(m-n)²+5(m-n)-24
15+2y-y²
14+15n-n²

Caso 6. Trinomio de la Forma x²+bx+c

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Ejemplo:

$y^2+0y-4 = (y+2)(y-2)\,$

Taller

$\begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}\end{displaymath}$
a⁴ + a² + 1
xª+2xy+yª-1

Caso 5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adicion y Sustraccion

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+y^2+2xy-xy=(x+y)^2-xy\,$

Taller

x²- y²
a²-1
a²-4
9-b²
1-4m²
16-n²
a²-25
1-y²
4a²-9
1-49a²b²

Caso 4. Diferencia de Cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx)\,$

O en una forma mas general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Taller

$(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,$

01)		x² + 6x+9

02)		16x² + 8x +1

03)		y² + 10y + 25

04)		4y² - 24y + 36

05)		49x²+ 112x+ 64

06)		81y²- 180y+ 100

07)		25x² + 30xy + 9y²

08)		81z²+108zw + 36w²

09)		64x⁴y² + 176x²y +121w

10) a^{2- 2ab+ b}²

caso 3. Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Taller

$\begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=x(a+b)+y(a+b)}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{=(a+b)(x+y)}\end{displaymath}$

a²+ ab + ax+ bx
am- bm +an - bn
ax- 2bx- 2ay+ 4by
a²x²- 3bx²+ a²y²- 3by²
x²- a²+ x- a²x
x+ x²- xy²- y²
3abx²- 2y²- 2x²+ 3aby²
6ax+3a+1+2x
2a²-5a²y+15by-6bx
1+a+3ab+3b

Caso 2. Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

$ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\,$

$= a(b+c)+d(b+c)\,$

$= (a+d) (b+c)\,$

Un ejemplo numerico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj\,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,$

Aplicamos el primer caso (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j)\,$

$= (2+3x)(y+j)\,$

Taller

6x⁵ - 8x⁴ - 10x³

6x⁵ - 8x⁴ - 10x³ = 2x³( 6x⁵ - 8x⁴ - 10x³)
2x³ 2x³ 2x³

= 2x³ ( 3x² - 4x - 5)

xy² - y²w
^{x(a + 7) - 5(a + 7)}
- x - y + a(x + y)
5xy² - 15y
(a + 5)(a + 1) - 2(a + 1)
^{xm - ym + xn - yn}
1 + a + 8ab + 8b
(x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5)
x(a + 9) - a - 9
2ax2-4ay+8a2x

Caso1. Factor Comun

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupacion de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,$

$ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,$

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,$

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) \,$

La respuesta es:

$(x -y)(5x^2 + 3x +7) \,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b \,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) \,$

jueves, 5 de noviembre de 2009

Evaluación

miércoles, 4 de noviembre de 2009

Taller

Caso 10. Suma o Diferencia de Dos potencias iguales

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caso 9. Diferencia de Cubos Perfectos

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Caso 8. Cubo PerFecto de Binomios

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caso 7. Trinomio de la Forma x2 + bx + c

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Caso 6. Trinomio de la Forma x²+bx+c

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Caso 5. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adicion y Sustraccion

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Caso 4. Diferencia de Cuadrados

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caso 3. Trinomio Cuadrado Perfecto

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Caso 2. Factor común por agrupación de términos

Taller

Caso1. Factor Comun

Factor común monomio

Factor común polinomio

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